평면 성분에서 크기로
X와 Y가 서로 독립인 평균 0, 분산 σ²의 정규 확률변수라면 R=√(X²+Y²)의 분포가 레일리 분포다. 두 성분이 같은 분산을 갖는 조건과 독립 조건이 중요하다. 한 성분만 정규분포라거나 벡터 길이가 항상 양수라는 이유만으로 이 분포를 따른다고 결론 낼 수는 없다.
밀도와 누적확률
이동이 없는 형태에서 r≥0의 밀도는 (r/σ²)exp(−r²/(2σ²))이고 누적분포는 1−exp(−r²/(2σ²))다. 예를 들어 σ=2이면 r=2√2에서 지수의 값이 −1이 되어 누적확률은 1−exp(−1), 약 0.632다. r=4에서는 누적확률이 1−exp(−2), 약 0.865로 커진다. 이 두 위치 사이의 확률은 두 누적확률의 차이다.
제곱한 크기의 변환
U=R²/(2σ²)라고 두면 u≥0에서 P(U>u)=exp(−u)가 된다. 따라서 U는 척도 1인 지수분포다. 이는 R 자체가 지수분포라는 뜻이 아니다. 예를 들어 σ=2, R=4인 크기는 변환 뒤 U=16/8=2에 해당한다. 길이를 제곱하고 척도로 나누는 과정을 생략하면 변수의 의미가 달라진다.
척도와 성분의 조건
척도 σ는 원래 두 정규 성분의 표준편차에 대응하며, 크기 R의 평균이나 표준편차와 그대로 같지 않다. 성분의 평균이 0이 아니거나 분산이 서로 다르면 다른 크기 분포를 검토해야 한다. 측정 장치의 한계로 큰 값이 잘렸거나 작은 값이 기록되지 않는 자료에서는 그 관측 과정을 포함해 적합 결과를 해석해야 한다.