등호를 허용하는 경우
1, 1, 2, 2, 3, 3, …은 감소하지 않으므로 비감소수열이다. 모든 단계에서 반드시 값이 커지는 엄격한 증가수열은 아니다. 단조 증가라는 말을 등호를 포함해 쓰는지 문맥의 정의를 확인한다.
방향 확인
aₙ=n은 엄격하게 증가하고 aₙ=1/n은 양의 자연수 번호에서 엄격하게 감소한다. 모든 항이 같은 상수수열은 비감소와 비증가 조건을 모두 만족한다.
유계인 단조수열
실수 수열이 비감소하면서 위로 유계이면 항들의 상한으로 수렴한다. 비증가하면서 아래로 유계이면 하한으로 수렴한다. aₙ=1−1/n은 증가하면서 1보다 크지 않고 1로 수렴하는 예다.
단조성만으로 충분하지 않음
aₙ=n은 증가하지만 위로 유계가 아니므로 유한한 실수 극한값을 갖지 않는다. 반대로 수렴하는 모든 수열이 단조인 것도 아니다. aₙ=(−1)ⁿ/n은 부호가 번갈아 바뀌면서 0으로 수렴한다.
관련 문서
수열 / 단조함수 / 수렴 (수학) / 발산 (수학) / 유계 / 상한 / 하한 / 수열의 극한 / 부분수열