일계수 조건
√2는 x²−2의 근이고 i는 x²+1의 근이므로 대수적 정수다. 정수 n은 x−n의 근이다. 반면 1/2은 2x−1의 근이어서 대수적 수이지만 이 식의 최고차항 계수가 1이 아니며, 실제로 대수적 정수가 아니다.
유리수인 경우
기약분수 a/b가 일계수 정수다항식의 근이라고 하자. 식에 b의 거듭제곱을 곱하면 b가 a의 거듭제곱을 나누어야 한다. a와 b가 서로소이므로 b는 ±1이어야 한다. 따라서 유리수인 대수적 정수는 정수다.
덧셈과 곱셈
대수적 정수의 합과 곱은 다시 대수적 정수다. 예를 들어 √2+√3은 x⁴−10x²+1의 근이므로 대수적 정수임을 직접 확인할 수 있다. 반면 나눗셈에는 일반적으로 닫혀 있지 않다. 1과 2가 대수적 정수여도 1/2은 그렇지 않다.
가우스 정수와의 연결
정수 a,b에 대해 a+bi는 x²−2ax+a²+b²의 근이다. 계수가 모두 정수이고 최고차항 계수가 1이므로 모든 가우스 정수는 대수적 정수다. 그러나 모든 대수적 정수가 가우스 정수인 것은 아니다. 실수 √2가 그 차이를 보여 준다.