가장 작은 차수와 정규화
α를 근으로 갖는 0 아닌 다항식 중 차수가 최소인 것을 고른다. 최고차항 계수로 나누어 1로 맞추면 최소다항식이 유일하게 정해진다. 이 일계수 조건이 없으면 다항식에 0 아닌 상수를 곱한 것들이 모두 같은 최소 차수를 갖게 된다.
나누어떨어지는 다항식
f(α)=0이면 f를 최소다항식 m으로 나눈 나머지도 α에서 0이다. 나머지의 차수는 m보다 작으므로 최소성 때문에 나머지는 0이어야 한다. 따라서 f는 m의 배수이며, α에서 0이 되는 다항식들의 아이디얼은 (m)이다.
기준 체가 바뀌는 예
√7의 ℚ 위 최소다항식은 x²−7이다. 하지만 ℝ 위에서는 √7이 이미 계수체에 들어 있으므로 x−√7이 최소다항식이다. 또한 x⁴−49도 √7을 근으로 갖지만 최소 차수가 아니므로 ℚ 위의 최소다항식은 아니다.
첨가한 체와 연결
m의 차수가 n이면 K(α)는 K[x]/(m)과 K 위에서 동형이고 차수는 n이다. 1,α,…,αⁿ⁻¹을 기저로 사용할 수 있다. 같은 최소다항식을 갖는 두 원소가 생성한 체들은 K 위에서 동형이지만 큰 체 안에서 반드시 같은 부분집합일 필요는 없다.
관련 문서
대수적 원소 / 기약다항식 / 다항식환 / 아이디얼 / 몫환 / 체의 확대 / 기저 (선형대수학) / 유리수