밀도와 두 경계의 모습
x>μ에서 밀도는 √(c/(2π))(x−μ)⁻³ᐟ² exp(−c/(2(x−μ)))다. μ에 가까운 오른쪽 경계에서는 지수항이 빠르게 작아져 밀도도 0에 가까워진다. 반면 오른쪽 멀리에서는 지수항이 1에 가까워져 거듭제곱 꼬리가 남는다. 분모에 x−μ가 들어간다는 이유만으로 경계에서 밀도가 발산한다고 판단하면 안 된다.
정규변수에서 만드는 방법
Z가 표준정규분포를 따르면 X=μ+c/Z²는 레비 분포를 따른다. Z=0일 확률은 0이지만 0에 가까운 값에서는 X가 매우 커진다. 예를 들어 μ=0,c=1일 때 |Z|=1이면 X=1이고 |Z|=1/2이면 X=4다. 정규변수 자체는 대칭이지만 역제곱 변환 뒤의 값은 양의 한쪽으로 몰리는 다른 모양이 된다.
누적확률과 최빈값
x>μ에서 F(x)=2(1−Φ(√(c/(x−μ))))이며 Φ는 표준정규 누적분포함수다. 따라서 x=μ+c에서의 누적확률은 약 0.3173이다. 한편 로그 밀도를 미분하면 −3/(2(x−μ))+c/(2(x−μ)²)가 되어 최빈값 μ+c/3을 얻는다. 이 값은 밀도가 가장 높은 위치이며 중앙값이나 평균을 뜻하지 않는다.
긴 꼬리와 평균의 부재
큰 x에서 밀도는 x⁻³ᐟ²에 비례한다. 따라서 평균을 계산하는 적분의 꼬리는 x⁻¹ᐟ²처럼 되어 발산한다. 분산 역시 유한하지 않으며 척도 c를 표준편차라고 해석해서는 안 된다. 유한한 표본에서 평균값을 계산할 수 있다는 사실이 이론적 평균의 존재를 보장하지 않는다. 분포를 요약할 때는 중앙값이나 분위수처럼 정의 가능한 양을 구분해 사용한다.