벡터 길이와 제곱합
독립적인 표준정규 확률변수 Z_1부터 Z_k까지의 제곱합 Q=ΣZ_i²는 자유도 k인 카이제곱 분포를 따른다. R=√Q는 카이 분포를 따른다. Q와 R은 같은 값을 나타내지 않는다. 예를 들어 두 성분이 3과 4로 관측됐다면 제곱합은 25이고 길이는 5다. 이 숫자 예는 변환을 설명하며, 성분을 고정한 뒤에도 확률적 표본이라는 조건이 자동으로 생기는 것은 아니다.
밀도의 형태
표준적인 형태에서 r≥0의 밀도는 r^(k−1)exp(−r²/2)/(2^(k/2−1)Γ(k/2))다. Γ는 감마 함수다. 이 식은 정수가 아닌 양의 자유도에도 분포를 정의한다. 다만 비정수 자유도를 그대로 벡터 좌표의 개수라고 해석할 수는 없다. 이동과 척도를 더한 표현을 쓰는 경우에는 원래의 표준정규 제곱합 관계와 구분해야 한다.
관련된 분포
자유도 1에서는 표준정규 확률변수의 절댓값인 반정규분포가 된다. 자유도 2에서는 레일리 분포, 자유도 3에서는 맥스웰 형태와 연결된다. 공통 척도를 곱하면 성분들의 표준편차도 그에 맞게 바뀐다. 카이 분포와 카이제곱 분포는 이름이 비슷하지만 제곱근 관계이므로 같은 임계값을 그대로 적용해서는 안 된다.
확률과 기댓값의 변환
R이 자유도 k의 카이 분포라면 R²의 기댓값은 k다. 그러나 R의 기댓값을 √k로 바로 정할 수는 없다. 비선형 함수인 제곱근과 평균 계산은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없기 때문이다. 또한 r≥0에서 P(R≤r)=P(Q≤r²)이므로 길이 임계값 2의 누적확률은 제곱합 임계값 4의 누적확률과 연결된다.
관련 문서
카이제곱 분포 / 레일리 분포 / 맥스웰 볼츠만 속력 분포 / 정규분포 / 감마 함수 / 기댓값