벡터에 두 번 적용하기
A² = A이면 모든 벡터 x에 대해 A(Ax) = Ax가 성립한다. 변환으로 얻은 벡터는 다시 같은 변환을 적용해도 움직이지 않는다. 행렬의 각 성분을 따로 제곱하는 조건이 아니라 행렬 곱으로 정의한 조건이라는 점에 주의해야 한다.
좌표를 남기는 예
첫째 행이 (1, 0), 둘째 행이 (0, 0)인 행렬은 (x, y)를 (x, 0)으로 보낸다. 같은 변환을 다시 적용해도 (x, 0)으로 남으므로 멱등행렬이다. 단위행렬과 영행렬도 각각 제곱이 자신과 같아 정의를 만족한다.
항상 대칭인 것은 아니다
첫째 행이 (1, 1), 둘째 행이 (0, 0)인 행렬도 제곱하면 자신과 같지만 대칭행렬은 아니다. 따라서 멱등이라는 조건만으로 직교 정사영을 나타낸다고 단정할 수 없다. 실수의 보통 내적에서 직교 정사영을 논하려면 대칭성 조건도 함께 살펴야 한다.
가역성의 조건
멱등행렬이 가역이라면 A² = A의 양변에 역행렬을 곱하여 A = I를 얻는다. 따라서 단위행렬이 아닌 멱등행렬은 가역일 수 없다. 제곱이 원래 행렬이 되는 조건과 제곱이 단위행렬이 되는 조건은 서로 다르다.