두 퍼짐을 합성곱하는 방법
중심이 0인 정규 밀도를 G, 코시 밀도를 C라고 하면 V(x)=∫G(t)C(x−t)dt다. 독립적인 정규 확률변수와 코시 확률변수를 더한 값의 밀도로도 해석할 수 있다. 반면 가중합 aG(x)+(1−a)C(x)는 둘 중 어느 분포에서 관측값이 나왔는지를 섞는 모형이다. 더하기와 합성곱은 연산도 해석도 다르다.
폭을 나타내는 두 모수
σ는 정규 성분의 표준편차지만 γ는 코시 성분의 반치반폭이다. 코시 밀도 C(x)=γ/(π(x²+γ²))는 x=γ에서 중심 높이의 절반이 된다. 따라서 코시 성분의 반치전폭은 2γ다. 예를 들어 γ=3이면 반치전폭은 6이다. 이 값이 합성된 보이트 곡선의 반치전폭까지 곧바로 뜻하는 것은 아니다.
한 성분이 사라지는 경우
γ=0인 극한에서는 정규 밀도가 남고, σ=0이고 γ가 양수이면 코시 밀도가 남는다. σ와 γ가 모두 0이면 질량이 원점에 집중되는 퇴화한 경우다. 이를 보통의 유한한 밀도 곡선처럼 취급하면 안 된다. 두 폭이 모두 양수인 경우 곡선은 중심을 기준으로 대칭이고 전체 적분은 1이다. 대칭이라는 이유만으로 분산이 유한해지는 것은 아니다.
파데예바 함수로 나타내기
σ가 양수일 때 z=(x+iγ)/(√2σ)로 두면 V(x)=Re[w(z)]/(σ√(2π))다. w는 파데예바 함수이며 복소 출력 전체가 아니라 실수부를 사용한다. 두 폭과 x를 같은 양의 배수 a만큼 늘리면 V(ax;aσ,aγ)=V(x;σ,γ)/a가 된다. 가로 폭이 늘어날 때 높이가 낮아져 전체 면적은 유지된다. 중심 위치가 μ인 곡선을 계산할 때는 x 대신 x−μ를 사용한다.