작은 반경 안의 확률
분포에서 독립적으로 뽑은 X와 Y에 대해 C(r)=P(||X−Y||<r)를 생각한다. 작은 r에서 C(r)가 rᴰ에 비례하면 그 지수로 차원을 정의한다. 적절한 극한이 존재하는지를 확인해야 하며, 유한 표본의 한 반경에서 얻은 확률 하나가 곧 차원은 아니다.
표본에서 가까운 쌍 세기
서로 다른 N개 표본에서 자기 자신을 제외한 순서 없는 쌍은 N(N−1)/2개다. 거리 r보다 가까운 쌍의 수를 이 수로 나누면 상관합을 얻는다. 예를 들어 네 점 0,1,3,6에서 r=3을 엄격한 부등호로 적용하면 거리 1과 2인 두 쌍만 들어가므로 상관합은 2/6=1/3이다.
균일한 선분의 직접 계산
[0,1]에서 두 점을 독립 균일하게 뽑으면 0<r<1에서 |X−Y|<r인 영역의 넓이는 1−(1−r)²=2r−r²다. 작은 r에서 주도항은 2r이므로 상관 차원은 1이다. 계수 2는 로그 비율의 극한에서 사라지고 r의 지수가 남는다.
유한 자료와 구조 해석
반경을 너무 작게 하면 가까운 쌍이 거의 없어 통계가 불안정해지고 너무 크게 하면 전체 영역의 크기에 포화된다. 반복 관측이나 시간적으로 의존하는 표본을 독립 추출로 다루면 해석이 달라질 수 있다. 안정적인 척도 구간과 표본 의존성을 확인하며 양의 추정 차원만으로 혼돈이나 특정 생성 법칙을 입증하지 않는다.