상승 계승

곱하는 수가 증가하는 계승

n이 양의 정수이면 첫 인수는 x이고 마지막 인수는 x+n−1이다. 예를 들어 (3)_4는 3×4×5×6=360이다. 같은 수를 반복해서 곱하는 3⁴=81과는 다르고, 1부터 3까지 곱하는 3!=6과도 다르다. 인수가 하나도 없는 n=0에서는 빈 곱의 관례에 따라 값을 1로 정한다.

차수를 하나 늘리는 관계

곱의 끝에 인수 하나를 추가하면 (x)_(n+1)=(x+n)(x)_n이 된다. 시작값이 1이면 (1)_n=n!이다. 시작값이 2이면 (2)_n=(n+1)!이므로, 같은 차수라도 시작값을 함께 읽어야 한다. 비율 (x)_(n+1)/(x)_n=x+n은 분모가 0이 아닐 때 사용할 수 있지만 곱셈 형태의 점화식은 0이 생기는 경우에도 그대로 성립한다.

음의 시작값과 유한 급수

시작값이 −2일 때 차수 0부터 값은 1, −2, 2, 0으로 이어진다. 차수 3에서 인수 0을 포함하며 이후에도 곱은 0이다. 초기하 급수의 분자에 이런 항이 있으면, 분모의 특이점 문제가 없는 조건에서 급수가 유한 다항식으로 끝날 수 있다. 시작값이 음수라는 이유만으로 정수 차수의 곱이 정의되지 않는 것은 아니다.

감마 함수와 표기 구별

두 감마 함수가 유한하고 비율을 사용할 수 있는 영역에서는 (x)_n=Γ(x+n)/Γ(x)로 나타낸다. 이 관계는 차수를 확장할 때도 유용하다. 다만 감마 함수의 극점에서 두 값을 직접 계산해 나누면 정수 차수의 유한 곱을 제대로 얻지 못할 수 있다. 하강 계승은 x(x−1)⋯처럼 인수가 감소한다. 분야에 따라 비슷한 기호를 다르게 쓰므로, 기호만 보고 상승형이라고 단정하지 않고 정의를 확인한다.