상승 계승을 사용하는 급수
(a)_n을 a(a+1)⋯(a+n−1), (a)_0=1로 두자. 기본 급수는 Σ_{n≥0}(a)_n(b)_n z^n/((c)_n n!)다. 첫 항들은 1+(ab/c)z+a(a+1)b(b+1)z²/(2c(c+1))+⋯다. 분모가 0이 되는 모수는 기본식 그대로 사용할 수 없으므로 모수의 예외와 극한 정의를 확인해야 한다.
급수가 다항식으로 끝나는 예
a=−2,b=3,c=4라면 (−2)_n은 n≥3에서 0이 되어 앞의 세 항만 남는다. 결과는 1−(3/2)z+(3/5)z²다. z=1/2에서는 1−3/4+3/20=2/5다. 종료 여부는 분자 모수의 비양의 정수 조건과 관련되며, 모든 모수가 단순히 정수라는 이유로 급수가 유한해지는 것은 아니다.
특수한 함수로 줄어든다
b=c이고 급수 계수의 약분이 가능한 조건에서는 ₂F₁(a,b;b;z)=Σ(a)_n z^n/n!로 줄어든다. 이는 이항급수 (1−z)^(−a)와 연결된다. a=2,b=c=3이면 |z|<1에서 (1−z)^(−2)다. 모수 약분식은 특이한 분모 조건까지 무시한 무조건적인 규칙으로 사용해서는 안 된다.
급수 밖의 입력
기본 급수가 수렴하지 않는 영역에서는 해석적 연속이나 다른 변환식으로 함수를 다룰 수 있다. 그 결과를 원래 급수의 단순한 항별 합과 동일한 계산 과정으로 생각하면 안 된다. 복소수에서는 가지의 선택도 중요하다. 필요한 입력 영역과 모수 조건을 확인하고 종료 다항식이나 특수값 등 별도의 관계로 수치 결과를 점검한다.