합류 초기하 함수

한 분자 모수의 급수

(a)_n은 상승 계승이고 (a)_0=1이다. ₁F₁의 급수는 Σ_{n≥0}(a)_n x^n/((b)_n n!)다. 처음에는 1+(a/b)x+a(a+1)x²/(2b(b+1))+⋯로 시작한다. 분모 모수가 비양의 정수처럼 계수를 특이하게 만드는 경우는 기본 급수를 그대로 사용할 수 없으므로 별도 조건을 확인해야 한다.

계수에서 방정식으로

급수의 계수를 c_n이라고 하면 c_(n+1)/c_n=(a+n)/((b+n)(n+1))이다. 이 관계를 xy″+(b−x)y′−ay에 대입하면 각 차수의 계수가 상쇄된다. 같은 방정식에는 다른 독립해도 있으므로 ₁F₁이라는 표준 해와 임의의 일반해를 구분한다. 미분방정식을 만족한다는 것만으로 반환된 함수가 원하는 정규화인지 확인됐다고 볼 수는 없다.

유한 다항식의 예

a=−2,b=3이면 분자 상승 계승이 세 번째 이후에 0이 된다. 결과는 1−(2/3)x+x²/12다. x=3에서는 1−2+3/4=−1/4다. 이 다항식은 확률이 아니므로 음수 값이 나온다는 이유로 오류라고 판단해서는 안 된다. 같은 초기하 표기라도 분포함수와 특수함수의 값 범위는 다를 수 있다.

특수형과 계산 조건

a=b이고 계수 약분이 가능한 경우에는 Σx^n/n!가 남아 exp(x)가 된다. 이 관계 역시 특이한 모수에서 무조건 약분하는 규칙으로 사용하지 않는다. 큰 입력에서 함수 크기가 빠르게 변할 수 있으므로 근사와 척도화 여부를 확인한다. 가우스 ₂F₁이나 다른 합류 해 U와도 기호와 모수를 구분해 계산해야 한다.