쌍곡선 함수로 쓰는 밀도
cosh x=(eˣ+e⁻ˣ)/2이고 sech x=1/cosh x다. 따라서 f(x)=2/(π(eˣ+e⁻ˣ))이다. x의 부호를 바꾸어도 분모가 같으므로 밀도는 원점을 기준으로 대칭이다. 중심 높이는 1/π이고 양쪽 꼬리에서 점점 작아진다. 밀도의 높이는 구간의 확률과 다르며, 연속분포에서 한 점의 확률은 0이다.
누적확률을 적분하기
미분하면 d arctan(eˣ)/dx=eˣ/(1+e²ˣ)=sech(x)/2다. 따라서 누적분포함수는 F(x)=(2/π)arctan(eˣ)다. x가 음의 무한대로 가면 0, 양의 무한대로 가면 1이 되어 밀도의 전체 적분도 1임을 확인할 수 있다. 원점에서는 arctan 1=π/4이므로 F(0)=1/2다.
정확한 구간 확률의 예
x=ln√3이면 eˣ=√3이고 arctan√3=π/3이므로 F(x)=2/3다. 반대편 −ln√3에서는 F=1/3이다. 따라서 −ln√3과 ln√3 사이의 확률은 1/3이다. 확률 p에 대응하는 분위수는 ln(tan(πp/2))로 얻는다. 이 식은 0<p<1에서 사용하며 양 끝 확률은 각각 무한한 경계에 해당한다.
위치와 척도 바꾸기
Y=μ+sX이고 s>0이면 밀도는 sech((y−μ)/s)/(πs)다. μ는 대칭 중심이고 중앙값이며, s는 이 정의에서의 척도다. 척도를 표준편차와 무조건 같은 값으로 읽지 않는다. 기본 밀도를 1/(2 cosh(πx/2))로 쓰는 관례는 가로축을 다르게 조절한 형식이므로, 다른 자료의 모수나 분위수를 가져올 때 정의를 먼저 맞춘다.