사인 기저의 경계
길이 N인 수열의 DST-I에서는 1부터 N까지의 표본 위치 j에 대해 sin(πkj/(N+1)) 형태의 기저를 사용할 수 있다. k도 1부터 N까지다. 표본 바깥의 위치 0과 N+1에서 사인값이 0이 된다는 구조가 있다. 다른 DST 유형은 표본 위치나 경계의 대칭 방식이 다르므로 같은 기저를 그대로 사용하지 않는다.
중앙에 값이 있는 예제
길이 3의 수열 (0,2,0)에 직교 정규화한 DST-I를 적용하면 계수는 (√2,0,-√2)이다. 각 사인 기저와의 내적에 정규화 계수 1/√2를 곱해 확인할 수 있다. 입력의 제곱합은 4이고 계수의 제곱합도 2+0+2=4다. 이 정규화에서는 같은 DST-I를 다시 적용해 원래 수열을 되찾을 수 있다.
차분 행렬과의 연결
대각 원소가 2이고 바로 위·아래 대각선에 -1이 있는 3×3 행렬 T를 생각하자. 벡터 (√2/2,1,√2/2)는 위 사인 기저 중 하나이며, T를 곱하면 그 벡터의 2-√2배가 된다. 경계 바깥 값을 0으로 두는 차분 연산과 사인 기저의 관계를 보여 주는 예제다. 모든 경계 조건의 차분 문제에 같은 변환을 쓸 수 있다는 뜻은 아니다.
역변환과 설정
정규화하지 않은 DST-I를 두 번 적용하면 원래 수열에 2(N+1)이 곱해진다. 직교 정규화한 경우와 그 배율이 다르다. DST-II와 III처럼 서로 짝이 되는 유형도 구분해야 한다. 길이, 변환 축과 정규화를 확인하고 역변환으로 검산한다. 일부 계수를 제거하거나 양자화하면 정확한 복원을 보장할 수 없으며 변환 자체와 정보 제거를 구분해야 한다.