이산 코사인 변환

좌표를 계수로 바꾸기

입력 수열을 여러 코사인 패턴의 가중 합으로 표현하는 관점이다. 낮은 주파수 성분은 완만한 변화에, 높은 주파수 성분은 더 빠른 변화에 대응한다. 다만 계수의 해석은 사용하는 DCT 유형과 표본의 경계 처리에 달려 있다. 흔히 사용하는 DCT-II와 다른 유형을 같은 변환으로 취급해서는 안 된다.

길이 3의 직교 정규화 예제

직교 정규화한 DCT-II에서 수열 (1,2,3)의 계수는 (2√3,-√2,0)이다. 첫 계수는 입력의 합 6을 √3으로 나눈 값이다. 나머지 기저와의 내적을 계산하면 두 번째는 -√2, 세 번째는 0이 된다. 입력의 제곱합은 1+4+9=14이고 계수의 제곱합도 12+2=14이다. 이는 직교 정규화에서 에너지 보존을 확인하는 예제다.

변환과 정보 손실

모든 계수를 충분한 정밀도로 유지하고 맞는 역변환을 사용하면 원래 수열을 복원할 수 있다. 변환 자체가 정보를 반드시 버리는 것은 아니다. 앞 예제에서 첫 계수만 남기고 나머지를 0으로 하면 역변환 결과는 (2,2,2)이다. 평균 수준은 남지만 원래의 증가하는 변화는 사라진다. 계수 제거와 양자화는 가역적인 좌표 변환과 구분해야 한다.

유형과 역변환

정규화하지 않은 DCT-II와 DCT-III는 서로 역관계에 있을 때 별도의 배율이 필요하다. 직교 정규화에서는 그에 맞춘 역변환을 사용한다. 길이를 늘리기 위한 0 채움, 입력을 자르는 처리, 변환 축도 결과를 바꾼다. 다른 도구의 계수를 비교할 때는 유형, 길이와 정규화를 맞추고 역변환으로 재구성 오차를 확인한다.