절대 거리의 거듭제곱
대칭형의 밀도는 β exp(−(|x−μ|/α)^β)/(2αΓ(1/β))다. Γ는 감마 함수다. 중심의 양쪽이 대칭이고 모든 실수에서 정의된다. 일반화 정규분포라는 이름으로 다른 확장도 쓰이므로 형상 모수가 어떤 수식에 들어가는지 밝혀야 한다. β가 비대칭 방향을 지정하는 모수라는 뜻은 아니다.
특수한 두 형상
β=1이면 밀도는 exp(−|x−μ|/α)/(2α)가 되어 척도 α의 라플라스 분포다. β=2이면 exp(−((x−μ)/α)²)/(α√π)가 된다. 정규 밀도의 exp(−(x−μ)²/(2σ²))와 비교하면 σ=α/√2다. 따라서 형상을 2로 정했다고 같은 숫자의 척도가 곧 정규분포 표준편차가 되는 것은 아니다.
거리별 밀도 비
척도를 1, 중심을 0으로 놓으면 f(2)/f(1)=exp(−(2^β−1))이다. β=1에서는 exp(−1), β=2에서는 exp(−3)으로 달라진다. 정규화 상수가 약분된 두 위치의 상대 밀도다. 이 비교는 같은 척도를 고정한 것이며, 분산까지 같게 맞춘 비교와는 조건이 다르다. 형상을 바꾸면 척도와 퍼짐의 관계도 달라진다.
분산과 적합의 해석
분산은 α²Γ(3/β)/Γ(1/β)다. β=1에서는 2α², β=2에서는 α²/2가 되어 앞의 특수형과 일치한다. 평균과 중앙값은 대칭 중심 μ지만 곡선의 뾰족함과 꼬리의 감소는 형상에 따라 달라진다. 관측자료에 적합한 형상을 찾았다는 사실만으로 오차의 실제 생성 원인까지 설명했다고 단정하지 않고, 다른 분포와 같은 비교 기준을 사용해야 한다.