정규 역가우스 분포

정규 평균과 분산의 혼합

c=√(a²−b²)라 하자. V가 평균 1/c와 형상 1의 역가우스 분포를 따르고 Z가 독립적인 표준정규변수일 때 Y=bV+√V Z로 기본형을 만들 수 있다. V가 주어졌을 때 Y의 평균은 bV이고 분산은 V다. 한 관측값에서 평균과 분산이 같은 V에 의해 함께 바뀌므로, 단순히 두 분포의 밀도를 가중합한 모형과는 다르다.

혼합에서 평균과 분산 얻기

역가우스 변수 V의 평균은 1/c, 분산은 1/c³이다. 조건부 평균과 분산을 사용하면 E[Y]=b/c이고 Var(Y)=1/c+b²/c³=a²/c³이다. 예를 들어 a=5,b=3이면 c=4이므로 평균은 3/4, 분산은 25/64다. 모양 모수 a나 b를 표준편차라고 읽으면 이 계산과 맞지 않는다.

좌우 비대칭을 확인하기

기본형의 밀도는 K₁(a√(1+y²))를 포함하며, y의 부호에 따른 비대칭은 exp(by)에 들어간다. 따라서 같은 양의 y에서 f(y)/f(−y)=exp(2by)다. b=0이면 대칭이고 b의 부호를 뒤집으면 좌우가 반사된다. b=3,y=1일 때 밀도 비율은 e⁶이지만, 이 숫자는 오른쪽 전체 확률과 왼쪽 전체 확률의 비를 뜻하지 않는다.

네 모수 형식과의 대응

흔한 다른 표기에서는 α,β,δ,μ를 쓰며 δ>0,α>|β|인 경우를 다룬다. 기본형 모수와는 a=αδ,b=βδ로 연결하고 위치는 μ, 척도는 δ로 둔다. 예를 들어 α=2,β=1,δ=3이면 a=6,b=3이다. 척도만 옮기고 a,b를 그대로 α,β로 입력하면 다른 분포가 된다. 경계 |b|=a는 이 문서의 혼합 및 모멘트 식이 사용하는 c>0 조건에서 제외한다.