제곱수의 약수 검사
어떤 소수 p에 대해서도 p²이 n을 나누지 않으면 제곱 인수가 없는 수다. 42=2×3×7은 같은 소수가 반복되지 않아 조건을 만족한다. 45=3²×5는 9로 나누어떨어지므로 조건을 만족하지 않는다. n 자체가 제곱수가 아니라는 조건만으로는 충분하지 않다.
1이 포함되는 이유
1에는 소인수가 없으므로 중복 소인수도 없다. 또한 1보다 큰 완전제곱수로 나누어떨어지지 않는다. 따라서 1은 이 정의에 포함된다. 제곱수라는 말에 1 자체가 포함되는 것과 모순되지 않으며, 제외하는 약수가 1보다 커야 한다는 점이 중요하다.
뫼비우스 함수와 연결
뫼비우스 함수는 중복 소인수가 있으면 0이고 없으면 1 또는 −1이다. 따라서 양의 정수 n이 제곱 인수가 없는지 여부는 |μ(n)|로 나타낼 수 있다. 이 값은 조건을 만족하면 1, 만족하지 않으면 0이므로 일정 범위 안의 개수를 합으로 표현하는 데 사용할 수 있다.
곱에서의 주의점
두 수가 각각 제곱 인수가 없다고 그 곱도 항상 그런 것은 아니다. 6과 15는 각각 조건을 만족하지만 곱 90에는 3²이 들어간다. 서로소인 두 수라면 소인수가 겹치지 않으므로 각각 제곱 인수가 없을 때 곱도 조건을 만족한다.