순열을 순환으로 읽기
순환 표기 (abc)는 a를 b로, b를 c로, c를 a로 보내는 순열을 뜻한다. (ab)(c)는 a와 b를 맞바꾸고 c는 그대로 두므로 순환이 두 개다. 길이 1인 고정점도 하나의 순환으로 센다. 순환 내부의 순서는 집합의 블록 내부 순서와 달리 순열을 결정한다.
세 원소의 순환 개수
서로 다른 세 원소에는 모두 6개의 순열이 있다. 하나의 순환을 가진 것은 (abc)와 (acb)의 두 개이고, 두 순환을 가진 것은 한 쌍을 바꾸는 세 개다. 항등순열은 세 고정점으로 이루어진다. 따라서 c(3,1)=2, c(3,2)=3, c(3,3)=1이다.
새 원소의 두 자리
새 원소가 혼자 순환을 만들면 나머지는 k−1개 순환을 가진다. 기존 순환에 넣는 경우에는 n−1개 기존 원소 중 어느 원소 뒤에 넣을지 정할 수 있다. 이에 따라 c(n,k)=c(n−1,k−1)+(n−1)c(n−1,k)라는 점화식을 얻는다. 빈 순열에 대해서는 c(0,0)=1로 둔다.
부호와 제2종의 구분
부호 없는 값은 경우의 수이므로 음수가 아니다. 부호 있는 값을 쓰면 c(3,2)=3에 대응하는 s(3,2)는 −3이다. 같은 이름의 제2종 스털링 수는 순환이 아니라 집합의 블록을 세므로 구별해야 한다. 예를 들어 세 원소를 한 블록으로 묶는 방법은 하나지만 하나의 순환을 만드는 방법은 둘이다.