속도 공을 변환한 모양
관절 속도 벡터의 유클리드 노름이 1 이하인 집합을 자코비안으로 옮기면 말단 속도 공간에 타원체가 생긴다. J가 행에 대해 완전 계수이면 vᵀ(JJᵀ)⁻¹v≤1로 쓸 수 있다. 주축 방향은 JJᵀ의 고유벡터이고 반축 길이는 고유값의 제곱근이다. 고유값 자체를 축 길이로 읽으면 안 된다.
두 방향의 예
J=diag(2,1)이면 가능한 속도는 vₓ²/4+vᵧ²≤1을 만족한다. 반축은 2와 1이며 면적은 2π다. 수평으로는 속도 2까지 가능하지만 수직으로는 1까지다. 같은 관절 속도 예산을 사용해도 방향에 따라 결과가 달라지는 것을 수치로 확인할 수 있다.
크기와 찌그러짐
J=diag(2,0.1)에서는 짧은 반축이 0.1로 줄어 면적이 0.2π가 된다. 긴 축과 짧은 축의 비는 20으로, diag(2,1)의 비 2보다 크다. 일반적인 부피 지표는 √det(JJᵀ)에 비례한다. 짧은 축이 정확히 0이 되면 집합이 낮은 차원으로 붕괴하며 앞의 역행렬 식은 사용할 수 없다. 크기 지표 하나만으로 방향별 성능을 모두 표현할 수도 없다.
비교 조건 맞추기
각속도와 선속도는 단위가 다르므로 그대로 합친 노름으로 로봇을 비교하면 길이 단위 선택에도 지표가 달라질 수 있다. 위치와 회전을 나누어 보거나 목적에 맞는 가중치를 정한다. 관절별 속도 한계가 서로 다른 실제 로봇에서는 구 대신 다른 제약 집합이 적절할 수도 있다. 타원체는 선택한 속도 제약 아래의 국소적인 지표다.