정규분포에서 변환하기
Z가 표준정규분포를 따를 때 X=sinh((Z−a)/b)로 두면 기본형의 존슨 SU 분포를 얻는다. asinh x=ln(x+√(x²+1))는 역쌍곡선 사인 함수다. 단순한 ln x와 달리 음수 x에서도 실수 값이 정의된다. 따라서 이 변환을 로그정규분포처럼 양수만 가능한 모형이라고 읽으면 안 된다.
밀도와 누적확률
변환 z=a+b asinh x의 도함수는 b/√(1+x²)다. 표준정규 밀도를 φ라고 하면 f(x)=b φ(a+b asinh x)/√(1+x²)다. 누적분포함수는 F(x)=Φ(a+b asinh x)로 얻는다. b가 양수이므로 변환이 증가하며 부등호 방향도 유지된다. 밀도를 계산할 때는 정규 밀도만 대입하는 것이 아니라 도함수 인자도 곱해야 한다.
중앙값과 비대칭성
표준정규분포의 중앙값이 0이므로 X의 중앙값은 sinh(−a/b)다. 예를 들어 a=ln 2,b=1이면 중앙값은 (1/2−2)/2=−3/4다. a=0이면 원점에 대해 대칭인 분포가 된다. a의 부호를 바꾸면 기본형 분포는 좌우가 반사된다. 비대칭 분포에서 중앙값과 평균이 같다고 가정하거나 위치 모수가 자동으로 평균이라고 읽지 않는다.
위치와 척도의 역할
Y=μ+sX이고 s>0이면 값 범위는 여전히 모든 실수다. 중앙값은 μ+s sinh(−a/b)이고 밀도는 X의 밀도에 (y−μ)/s를 넣어 s로 나눈다. 예를 들어 μ=10,s=2와 앞의 중앙값 −3/4를 쓰면 Y의 중앙값은 8.5다. 유한한 구간에 값이 제한되는 존슨 SB 분포와는 변환 및 지지집합이 다르다.