정규변수에서 제한된 구간으로
Z가 표준정규분포를 따를 때 X=1/(1+exp(−(Z−a)/b))로 두면 기본형 존슨 SB 분포를 얻는다. 유한한 Z에서는 X가 0이나 1과 정확히 같아지지 않는다. 반올림 때문에 계산 결과가 경계처럼 보이는 현상과 수학적인 변환 범위는 구별한다. 경계를 넘는 값을 잘라내는 클리핑과도 다른 생성 방식이다.
변환의 도함수와 밀도
z=a+b ln(x/(1−x))의 도함수는 b/(x(1−x))다. 따라서 밀도는 f(x)=b φ(a+b ln(x/(1−x)))/(x(1−x))다. 여기서 φ는 표준정규 밀도이고 식은 0<x<1에서 적용한다. 누적확률은 F(x)=Φ(a+b ln(x/(1−x)))다. 밀도의 분모만 보고 경계에서 반드시 발산한다고 추측하면 안 된다. 정규 밀도 인자도 함께 변한다.
중앙값과 대칭성
Z의 중앙값이 0이므로 X의 중앙값은 1/(1+exp(a/b))다. 예를 들어 a=ln 3,b=1이면 중앙값은 1/4다. a=0일 때는 1/2를 중심으로 대칭이다. 실제로 Z를 −Z로 바꾸면 X는 1−X로 바뀌며 표준정규분포의 대칭성과 맞물린다. a가 0이 아닌 경우 위치 0이나 구간 중점 1/2를 자동으로 중앙값이라고 읽지 않는다.
구간과 분포 모양 바꾸기
Y=μ+sX이고 s>0이면 내부 범위는 μ<Y<μ+s다. 예를 들어 μ=20,s=80이면 값이 20과 100 사이에 있으며, 앞의 중앙값 1/4는 40으로 옮겨진다. 유한 구간의 분포라는 점은 베타 분포와 같지만 밀도의 형태와 모수의 의미는 다르다. 모든 실수 범위를 사용하는 존슨 SU 분포와도 구별해야 한다.