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과학

체의 표수

체의 표수과학
영어
Field characteristic
표기
char(K)
양의 표수
최소의 p>0으로 p×1=0
가능한 값
0 또는 소수
체의 표수는 곱셈 항등원 1을 반복해서 더할 때 처음 0이 되는 양의 반복 횟수다. 그런 횟수가 없으면 표수를 0이라고 한다. 체의 표수는 0이거나 소수이며, 체의 원소 개수와는 다른 개념이다.

1을 반복해서 더하기

ℤ/7ℤ에서는 1을 일곱 번 더하면 0이고 더 적은 양의 횟수로는 0이 되지 않는다. 따라서 이 체의 표수는 7이다. 유리수체나 실수체에서는 1을 아무리 유한 번 더해도 0이 되지 않아 표수가 0이다.

왜 소수여야 하나

양의 표수가 합성수 n=ab라고 하고 1<a,b<n이라 하자. 최소성에 의해 a×1과 b×1은 모두 0이 아닌데 그 곱은 n×1=0이다. 체에는 영인수가 없으므로 모순이다. 따라서 양의 표수는 소수여야 한다.

원소 개수와 구별

유한체의 원소 개수가 pⁿ이면 표수는 p다. 예를 들어 원소가 9개인 체의 표수는 3이지 9가 아니다. 또한 ℤ/9ℤ는 영인수가 있어 체가 아니므로 원소 9개의 체와 같은 것으로 취급할 수 없다.

부분체와 연산

부분체는 큰 체와 같은 1을 사용하므로 표수도 같다. 표수가 2인 체에서는 1+1=0이어서 −1=1이다. 이는 실수에서의 부호 계산을 그대로 옮길 수 없음을 보여 주며, 모든 원소가 두 개뿐이라는 뜻은 아니다.

관련 문서

체 (수학) / 영인수 / 몫환 / 소수 (수론) / 유리수 / 실수 / 정역