존재를 보장하는 방향
라그랑주 정리는 존재하는 부분군이나 원소의 위수가 군의 위수를 나눈다는 방향이다. 코시 정리는 소수 p가 군의 위수를 나누면 실제로 그 위수의 원소를 찾을 수 있다고 말한다. 두 정리의 가정과 결론 방향을 구분해야 한다.
위수가 30인 군
어떤 유한군의 위수가 30이라면 소인수 2, 3, 5 각각에 대해 그 위수의 원소가 존재한다. 하지만 이 사실만으로 위수 30인 원소가 존재한다고 결론 내릴 수는 없다. 서로 다른 소수 위수 원소들의 곱이 원하는 위수를 가질지는 군의 연산에 달려 있다.
소수 조건을 빼면 안 됨
군의 위수가 합성수 k로 나누어진다고 항상 위수 k인 원소가 생기는 것은 아니다. 예를 들어 두 개의 2원소 순환군의 직접곱은 위수가 4지만 위수 4인 원소가 없다. 따라서 정리에서 p가 소수라는 조건은 핵심이다.
가환성이나 유일성은 별개
코시 정리는 G가 가환군일 필요는 없다. 또한 해당 위수의 원소나 부분군이 유일하다는 정리도 아니다. 같은 소수 위수 원소가 여러 개일 수 있으며, 정리는 그 개수 전체나 구체적인 위치를 바로 정해 주지는 않는다.