첫 행과 첫 열로 구조를 정한다
3행 3열 행렬의 행들이 (4,1,-2), (3,4,1), (5,3,4)라고 하자. 주대각선은 모두 4, 바로 위 대각선은 모두 1, 바로 아래 대각선은 모두 3이다. 첫 행과 첫 열을 알면 나머지 원소를 이 대각선 규칙으로 채울 수 있다.
대칭성과는 다른 조건이다
위 행렬에서 (1,2)의 원소는 1이고 (2,1)의 원소는 3이므로 대칭이 아니다. 대각선이 일정하다는 말은 주대각선을 기준으로 서로 마주 보는 원소가 같다는 뜻이 아니다. 대칭인 토플리츠 행렬도 있지만 일반적인 정의에는 대칭 조건이 없다.
합성곱을 행렬로 계산한다
필터 계수가 (2,1), 입력이 (3,4,5)이고 바깥 입력을 0으로 두자. 네 행이 (2,0,0), (1,2,0), (0,1,2), (0,0,1)인 토플리츠 행렬을 입력 열벡터에 곱하면 (6,11,14,5)다. 이는 두 유한 신호의 선형 합성곱 결과다.
경계 규칙에 따라 달라진다
앞 예의 행렬은 4행 3열로 입력보다 긴 출력을 만든다. 주기적으로 신호를 이어 계산하는 순환 합성곱은 경계 처리와 행렬 구성이 다르다. 토플리츠 구조가 있다는 이유만으로 값을 끝에서 반대쪽으로 자동 순환시켜서는 안 된다.