방정식과 해의 선택
2계 미분방정식 하나에는 여러 해가 있을 수 있다. U는 양의 실수 x가 커질 때 x^(−a)와의 비가 1로 가는 거동으로 구별한다. M(a,b,x)=₁F₁(a;b;x)도 같은 방정식과 관련되지만, 같은 모수를 넣었다고 U와 동일한 함수가 되지는 않는다. 다만 특정 모수에서는 두 표준 해가 종속이 될 수 있으므로 언제나 독립인 두 해라고 단정하지 않는다.
점근식은 모든 입력의 등식이 아니다
a=2라면 큰 양의 x에서 U는 x⁻²에 가까운 거동을 보인다. 이것이 x=1에서 반드시 1이라는 뜻은 아니다. 또한 U가 무한대에서 항상 0으로 간다고 말하면 부정확하다. a가 양수이면 x⁻a가 0으로 가지만 a=0이면 상수이고 a가 음수이면 오히려 증가할 수 있다. 극한을 설명할 때는 모수 조건을 함께 적어야 한다.
직접 검산할 수 있는 특수형
U(a,a+1,x)=x⁻a라는 특수형이 있다. y=x⁻a를 미분하면 y′=−a x⁻a⁻¹, y″=a(a+1)x⁻a⁻²이며 이를 방정식에 넣으면 항들이 상쇄된다. 예를 들어 U(2,3,x)=x⁻²이므로 x=2에서 1/4이다. a=−1인 다항식 특수형은 U(−1,b,x)=x−b다. x가 커질 때 이 함수와 x의 비가 1이 되는 것도 확인할 수 있다.
원점과 복소수의 가지
일반적인 U는 원점에서 가지점이 생길 수 있으며 주가지에는 음의 실수축 방향의 절단이 사용된다. 양의 입력에서 계산한 규칙을 음수 입력에 무조건 적용해서는 안 된다. 반대로 다항식처럼 특별히 단순해지는 모수도 있으므로 모든 경우에 같은 특이성이 있다고 주장하지 않는다. 실수 전용 계산 함수가 음수에서 값을 돌려주지 않는 현상과 복소수 해석적 연속의 존재도 구별한다.
관련 문서
합류 초기하 함수 / 가우스 초기하 함수 / 미분방정식 / 점근 표기법 / 복소수 / 거듭제곱