상태를 함수값으로 표현하기
상태 x를 그대로 사용하는 대신 Ψ(x)=(ψ₁(x),…,ψₘ(x))처럼 여러 관측 함수의 값으로 바꾼다. 대응하는 앞뒤 상태 표본에서 이 함수값들의 전이를 최소제곱으로 맞춘다. 좌표 함수만 쓰는 선택은 기본 DMD와 연결되고 다항식이나 다른 기저를 더하면 표현 공간이 달라진다.
닫히는 사전의 예제
스칼라 동역학 x다음=2x에서 사전을 (1,x,x²)로 택하면 다음 함수값은 (1,2x,4x²)다. 이 세 함수의 공간은 전이 아래 닫혀 있고 해당 표현의 전이 행렬은 diag(1,2,4)다. 같은 물리적 상태 변화라도 관측 함수 x와 x²는 서로 다른 고유값으로 변한다.
닫히지 않는 사전
반대로 x다음=x²이면 사전 (1,x,x²)의 마지막 함수는 다음 단계에서 x⁴가 된다. x⁴를 포함하지 않은 유한 사전으로는 이 관계를 모든 x에서 정확히 표현할 수 없다. 더 많은 데이터를 얻는 것만으로 사전에 빠진 함수를 자동으로 생성하지는 않으며 근사 오차를 따로 살펴야 한다.
사전과 데이터의 균형
사전을 크게 만들면 표현력이 늘 수 있지만 중복 함수와 적은 표본은 불안정한 최소제곱 문제를 만든다. 관측한 영역과 데이터 분포도 어떤 근사를 얻는지에 영향을 준다. 계산된 고유값을 실제 무한차원 연산자의 고유값으로 바로 단정하지 않고 사전 변화와 별도 데이터에서의 예측을 함께 점검한다.