가우스 에르미트 구적법

적분에서 가중치를 분리하기

계산 대상은 ∫_{−∞}^∞ exp(−x²)f(x)dx이며 근사식은 Σw_i f(x_i)다. 이미 가중치 exp(−x²)가 구적 공식에 포함되므로 f를 평가할 때 이를 다시 곱하면 다른 적분을 계산한다. 정확도 조건은 가중치 밖의 함수 f가 다항식일 때의 차수에 대한 것이다. 임의의 함수에서 n개 점만으로 정확한 값을 얻는다는 뜻은 아니다.

두 점 공식의 예

n=2에서는 H₂(x)=4x²−2의 근인 ±1/√2를 사용하고 두 가중치는 각각 √π/2다. f(x)=x²이면 두 함수값이 모두 1/2이므로 가중합은 √π/2다. f(x)=1이면 가중치 합 √π를 얻는다. 두 점 공식이 3차 이하 다항식에 정확하다는 조건과 일치하지만, f가 4차 이상이면 별도 검토가 필요하다.

정규분포의 기댓값으로 바꾸기

Z가 표준정규분포를 따르면 E[g(Z)]=(1/√π)∫exp(−t²)g(√2t)dt다. 두 점 공식은 Z에 대응하는 평가점 −1,1과 확률 가중치 1/2,1/2가 된다. g(z)=z²의 기댓값은 1로 정확하지만 g(z)=z⁴는 1로 근사되어 실제 값 3과 다르다. 저차 모멘트를 맞춘다고 분포의 모든 성질을 똑같이 재현하는 것은 아니다.

두 에르미트 관례 구별

통계학자형 에르미트 다항식은 exp(−x²/2) 가중치와 연결되는 다른 관례다. 절점과 가중치를 가져올 때 어떤 형식인지 확인해야 한다. 평균 μ,표준편차 σ의 정규변수라면 표준정규 기댓값 식의 g(√2t)를 g(μ+σ√2t)로 바꾼다. 숫자 표를 그대로 쓰면서 제곱근 2의 척도 변환을 빠뜨리면 다른 값을 얻는다.