미분으로 정의하는 두 관례
물리학자형은 Hₙ(x)=(-1)ⁿexp(x²)(dⁿ/dxⁿ)exp(-x²)다. 확률론자형은 Heₙ(x)=(-1)ⁿexp(x²/2)(dⁿ/dxⁿ)exp(-x²/2)다. 지수에 1/2이 들어가는 차이가 다항식의 계수를 바꾼다.
이차식까지 계산하기
exp(-x²)를 한 번 미분하면 -2x exp(-x²), 두 번 미분하면 (4x²-2)exp(-x²)다. 따라서 H₁=2x, H₂=4x²-2를 얻는다. 확률론자형에서는 He₁=x, He₂=x²-1이다. x=1에서 H₂는 2지만 He₂는 0이므로 같은 것으로 사용할 수 없다.
최고차항만 맞추어도 다르다
H₂의 최고차항 계수를 1로 만들면 x²-1/2이다. 이것도 He₂=x²-1과 다르다. 두 계열의 변환은 변수 스케일도 포함하며 Heₙ(x)=2^(-n/2)Hₙ(x/√2)다. n=2에서 이 관계를 대입하면 x²-1을 확인할 수 있다.
직교에 사용하는 가중치를 명시하기
서로 다른 차수의 물리학자형을 곱해 exp(-x²)와 함께 적분하면 0이다. 확률론자형은 exp(-x²/2)를 사용한다. 가중치와 적분 구간을 빼고 단순히 두 다항식이 직교한다고만 하면 어떤 내적인지 빠진다. 함숫값과 도함수 자료를 맞추는 에르미트 보간과도 구분한다.