고정한다는 뜻
자기동형 σ는 덧셈과 곱셈을 보존하는 L에서 L로의 전단사다. K를 고정한다는 것은 K를 집합으로만 유지하는 것이 아니라 모든 a∈K에 대해 σ(a)=a라는 뜻이다. 같은 큰 체라도 어느 부분체를 고정하느냐에 따라 군이 달라질 수 있다.
이차 확대의 예
ℚ(√5)/ℚ에서는 항등사상과 a+b√5를 a−b√5로 보내는 사상이 있다. √5의 상은 x²−5의 근이어야 하므로 가능한 것은 ±√5뿐이다. 두 번 부호를 바꾸면 원래대로 돌아와 이 갈루아 군은 위수 2인 순환군과 동형이다.
근들의 순열
유리수계수 다항식의 분해체에서 자기동형은 근을 다른 근으로 보낸다. 따라서 갈루아 군은 근들의 대칭군의 부분군으로 나타난다. 그러나 근들을 임의로 뒤섞는 모든 순열이 체의 연산을 보존하는 것은 아니므로 대칭군 전체라고 단정할 수 없다.
방정식의 풀이와 연결
표수 0인 체 위에서 다항식을 근호로 풀 수 있는지는 그 분해체의 갈루아 군이 가해군인지와 연결된다. 차수가 크다는 이유만으로 개별 다항식이 근호로 풀리지 않는다는 뜻은 아니다. 정확한 판단에는 실제 갈루아 군의 구조가 필요하다.