강성 미분방정식

느린 해에도 작은 간격이 필요한 이유

눈에 보이는 곡선이 천천히 변한다고 모든 수치 계산이 큰 간격으로 가능한 것은 아니다. 빠르게 감쇠하는 방향에서 생긴 작은 수치 오차가 계산법의 안정 영역을 벗어나 커질 수 있다. 해의 변화 속도와 알고리즘이 허용하는 시간 간격은 서로 다른 문제다.

두 시간 척도의 예

dx/dt = -x, dz/dt = -500z, 초기값이 모두 1인 독립 계통을 생각하자. 해는 각각 exp(-t), exp(-500t)다. t = 0.02에서 첫 값은 약 0.9802지만 두 번째는 약 0.0000454다. 이후 느린 성분을 오래 관찰하려 해도 빠른 방향이 계산의 제약으로 남을 수 있다.

전진 오일러의 제약

위 계통에서 전진 오일러 방법을 쓰면 두 번째 값의 단계 배율은 1-500h다. 이 값의 크기가 1보다 작으려면 0 < h < 0.004여야 한다. h = 0.01이면 배율은 -4다. 정확한 빠른 성분은 줄어드는데 계산 오차와 수치값은 증폭될 수 있다.

풀이 비용을 비교한다

강성 문제용 계산법은 한 단계에서 방정식이나 선형계 풀이에 더 많은 작업을 할 수 있다. 대신 안정성 때문에 필요한 단계 수를 줄일 수 있다. 허용 오차, 야코비안 정보, 계산 구간을 함께 고려한다. 시간 척도의 비율 하나만으로 모든 비선형 문제의 강성을 확정하지는 않는다.