실제로 곱해 확인하기
두 행 (1,2),(0,3)인 행렬 A에 v=(1,1)을 곱하면 (3,3)=3v다. 따라서 (1,1)은 고유값 3의 고유벡터다. 벡터의 모양만 보고 정하지 않고 행렬과의 관계로 확인한다.
스칼라배도 고유벡터
v가 고유벡터이고 c≠0이면 A(cv)=cAv=λ(cv)이므로 cv도 같은 고유값의 고유벡터다. 길이를 1로 정규화해 나타낼 수 있지만 정의상 반드시 단위벡터일 필요는 없다.
영벡터를 제외하는 이유
영벡터는 어떤 λ에 대해서도 A0=λ0을 만족하므로 특정 고유값의 성질을 구별해 주지 못한다. 따라서 고유벡터의 정의에서 제외한다. 고유공간에는 선형공간을 이루기 위해 영벡터를 포함한다는 점과 구별한다.
고유값마다 찾기
고유값 λ를 알면 (A−λI)v=0의 0이 아닌 해를 찾는다. 같은 고유값에 대응하는 고유벡터가 하나의 방향으로만 정해지는 것은 아니다. 예를 들어 단위행렬에서는 모든 0이 아닌 벡터가 고유값 1의 고유벡터다.