역행렬이 없는 조건
Av=λv인 0이 아닌 v가 있으려면 (λI−A)v=0에 비자명한 해가 있어야 한다. 따라서 λI−A의 행렬식이 0이어야 한다. 이것이 특성방정식 p(λ)=0과 고유값을 연결한다.
2×2의 식
2×2 행렬에서 p(λ)=λ²−tr(A)λ+det(A)다. 두 행 (1,2),(0,4)인 행렬은 대각합이 5이고 행렬식이 4이므로 p(λ)=λ²−5λ+4다. 근은 1과 4다.
부호 관례
일부 문헌은 det(A−λI)를 특성다항식으로 정의한다. 두 식은 (−1)ⁿ배만 달라 근과 그 중복도는 같다. 계수를 비교할 때 어느 부호 관례를 쓰는지 확인해야 한다.
근과 고유벡터의 개수
특성다항식에서 어떤 근이 반복되는 정도는 대수적 중복도다. 그 고유값에 대해 선형독립인 고유벡터를 몇 개 찾을 수 있는지와는 다른 개념이다. 중근이 있다는 사실만으로 서로 독립인 고유벡터도 그 수만큼 있다고 결론 내리지 않는다.