구면의 두 각도
이 문서에서 θ는 북극 방향에서 내려오는 극각으로 0부터 π까지이고, φ는 축 주위를 도는 방위각이다. 반지름은 각도 함수의 입력에 들어가지 않는다. 극각은 적도에서 재는 위도와 다르다. 북극은 θ=0이고 적도는 θ=π/2다. 자료에 따라 θ와 φ의 역할을 바꾸기도 하므로 기호보다 좌표의 정의를 먼저 확인한다.
가장 낮은 차수의 모양
정규화한 복소 구면 조화 함수에서 Y₀⁰=1/√(4π)로 방향과 무관한 상수다. Y₁⁰=√(3/(4π))cos θ는 북극에서 양수, 적도에서 0, 남극에서 음수가 된다. 이는 값의 부호가 있는 함수이며 그대로 확률밀도라고 해석하지 않는다. l=1에서는 m이 −1,0,1이므로 세 함수가 있고 l=2에서는 다섯 함수가 있다.
각도와 복소 위상
표준적인 정의는 르장드르 연관함수 P_l^m(cos θ)에 exp(imφ)와 정규화 계수를 곱한 형태다. m=0이면 방위각 인자가 1이므로 φ에 의존하지 않는다. m이 0이 아니면 복소 위상이 방위각에 따라 변한다. 같은 l,m이라는 이름을 쓰더라도 위상 부호나 정규화 관례가 다를 수 있다. 서로 다른 계산 결과를 비교할 때는 이 조건을 맞춰야 한다.
계수 수와 방향 표현
차수를 0부터 L까지만 사용하는 전개에는 Σ(2l+1)=(L+1)²개의 기본 함수가 포함된다. 예를 들어 L=2이면 1+3+5=9개다. 실수값 자료를 표현할 때는 복소 함수의 실수부와 허수부를 조합한 실수 기저를 사용할 수도 있다. 기저를 바꾸면 계수의 의미도 함께 바뀐다. 구면 위의 각도 패턴과 반지름 방향 변화는 서로 구분해 다룬다.