점화식으로 계산하기
n≥1일 때 (n+1)Pₙ₊₁(x)=(2n+1)xPₙ(x)-nPₙ₋₁(x)다. 따라서 P₂(x)=(3x²-1)/2, P₃(x)=(5x³-3x)/2를 얻는다. 체비쇼프 다항식과 초기 두 값은 같아도 점화식이 달라 그다음 항은 다르다.
직교가 의미하는 적분
서로 다른 차수의 두 다항식을 곱해 -1부터 1까지 적분하면 0이다. 예를 들어 P₀P₂의 적분은 (3×2/3-2)/2=0이다. 두 함수가 같은 지점에서 항상 곱이 0이라는 뜻은 아니다. x=0에서는 P₀P₂=-1/2다.
직교와 정규직교를 구분하기
표준 Pₙ의 제곱 적분은 2/(2n+1)이다. P₁=x의 제곱 적분도 2/3으로 1이 아니다. 따라서 표준 르장드르 다항식은 서로 직교하지만 이 내적에서 길이가 모두 1인 정규직교 기저는 아니다. 정규화하려면 각각 √((2n+1)/2)를 곱한다.
구적점과의 연결
P₂의 두 영점은 ±1/√3이다. 이 점들이 두 점 가우스 르장드르 공식의 평가점이다. 영점에 함수값을 대입하는 것과 그 값에 적절한 가중치를 곱해 적분을 근사하는 과정을 구분해야 한다. 르장드르 다항식 자체를 적분 대상 함수로 바꾸는 절차는 아니다.