포함 관계의 끝
극대라는 말은 아이디얼의 원소 수가 가장 많다는 뜻이 아니다. 주어진 아이디얼을 더 크게 만들되 환 전체에는 도달하지 않는 중간 아이디얼을 만들 수 없다는 뜻이다. 서로 다른 극대 아이디얼이 여러 개 있을 수 있다.
정수환에서의 예
정수환에서는 양의 정수 n에 대해 nℤ가 극대일 조건은 n이 소수인 것이다. 11ℤ로 나눈 몫은 11개 원소를 가진 체다. 반면 12ℤ⊊6ℤ⊊ℤ이므로 12ℤ는 극대가 아니다.
몫환이 체가 되는 이유
가환환의 몫 R/M에서 [a]≠[0]을 고르자. M과 a로 생성한 아이디얼은 M보다 크므로 극대성에 의해 R이다. 따라서 1=m+ra인 m∈M,r∈R가 있어 [r][a]=[1]이다. 모든 0 아닌 잉여류가 역원을 갖게 된다.
가정이 필요한 지점
위의 체 조건에는 가환성과 곱셈 항등원이 필요하다. 비가환환의 극대 양쪽 아이디얼로 나눈 몫은 일반적으로 체일 필요가 없다. 또한 소아이디얼이 언제나 극대인 것도 아니다. 정수환의 {0}은 그 역방향이 실패하는 예다.