두 조건을 함께 요구
대수적 폐포의 원소는 모두 K 위에서 대수적이어야 한다. 동시에 확대된 체 자체를 계수로 쓰는 모든 비상수 다항식도 그 안에서 근을 갖는다. 단지 큰 체를 하나 골라 K의 다항식 근들을 몇 개 넣는 것만으로는 두 조건을 만족하지 않는다.
실수체의 경우
복소수체 ℂ는 실수체 ℝ의 대수적 폐포다. 복소수 a+bi는 실수계수 다항식 (x−a)²+b²의 근이므로 ℝ 위에서 대수적이다. 또한 대수학의 기본정리에 의해 복소수계수 비상수 다항식은 복소수 근을 갖는다.
유리수체에서는 다름
ℂ가 ℝ의 대수적 폐포라는 사실이 ℚ의 대수적 폐포라는 뜻은 아니다. ℂ에는 π처럼 ℚ 위에서 초월적인 원소도 있기 때문이다. ℂ 안에서 ℚ 위의 대수적 수들만 모은 체가 ℚ의 대수적 폐포를 이루는 한 표현이다.
분해체와의 차이
x²−5의 ℚ 위 분해체 ℚ(√5)는 이 다항식의 근을 모두 포함하지만 x²+1의 근 i는 포함하지 않는다. 따라서 대수적 폐포가 아니다. 특정 다항식의 모든 근을 확보하는 작업과 대수적으로 닫힌 확대체를 만드는 작업은 범위가 다르다.