두 번 하면 되돌아오는 변환
A² = I이면 A(Ax) = x가 모든 벡터 x에서 성립한다. 한 번 변환했을 때 반드시 x가 그대로라는 뜻은 아니다. 첫 적용에서 달라진 벡터가 두 번째 적용에서 원래로 돌아오는 경우도 포함한다.
두 좌표의 교환
첫째 행이 (0, 1), 둘째 행이 (1, 0)인 행렬은 (x, y)를 (y, x)로 보낸다. 다시 적용하면 (x, y)가 되므로 대합행렬이다. 실수 평면에서는 이 변환을 직선 y = x에 대한 반사로 이해할 수 있다.
역행렬이 존재하는 이유
A와 A의 곱이 단위행렬이므로 A는 가역이며 A⁻¹ = A다. 그러나 모든 가역행렬이 대합행렬은 아니다. 예를 들어 단위행렬의 두 배인 2I는 실수에서 가역이지만 제곱이 4I이므로 대합 조건을 만족하지 않는다.
멱등행렬과 구별
멱등행렬은 A² = A이고 대합행렬은 A² = I다. 전자는 첫 적용 뒤 결과가 유지되는 구조이고 후자는 두 적용 뒤 출발점으로 돌아오는 구조다. 두 조건을 모두 만족하는 행렬은 단위행렬이며, 이름이나 반복이라는 특징만으로 둘을 같은 개념으로 보아서는 안 된다.