기저가 달라지면
선형 변환 자체가 같더라도 좌표를 표시하는 기저를 바꾸면 행렬의 성분은 달라질 수 있다. 닮음 관계는 정의역과 공역에서 같은 기저 변경을 적용한 경우를 나타낸다. 행렬의 모양이 시각적으로 비슷하다는 뜻은 아니다.
간단한 계산 예
A가 대각 성분 2와 5를 갖는 2행 2열 대각행렬이고 P가 두 좌표를 교환하는 행렬이라고 하자. P는 첫째 행이 (0, 1), 둘째 행이 (1, 0)이며 자신의 역행렬과 같다. P⁻¹AP를 계산하면 대각 성분의 순서가 5와 2로 바뀐 행렬을 얻는다.
고유값과의 관계
닮은 두 행렬은 같은 특성다항식을 가지므로 고유값도 중복도를 포함해 같다. 그러나 고유값이 같다는 조건만으로 닮음을 결론낼 수는 없다. 2행 2열 단위행렬과 첫째 행 (1, 1), 둘째 행 (0, 1)인 행렬은 고유값이 모두 1이지만 서로 닮지 않는다. 단위행렬은 어떤 가역행렬로 닮음변환해도 그대로이기 때문이다.
대각화와 연결
행렬을 닮음변환하여 대각행렬로 만들 수 있으면 대각화 가능하다고 한다. 모든 정사각행렬이 대각화 가능한 것은 아니다. 닮음 관계와 대각화 가능성을 살필 때에는 같은 크기인지, 어떤 체 위에서 계산하는지, 변환 행렬이 가역인지 함께 확인해야 한다.