벡터의 길이를 바꾸어도 같다
x를 0이 아닌 상수로 곱하면 분자와 분모에 같은 절댓값 제곱이 곱해져 약분된다. 따라서 벡터의 크기보다 방향을 보는 양이다. x가 고유값 λ의 고유벡터이면 Ax=λx를 대입해 레일리 몫이 λ임을 확인할 수 있다.
계산값이 항상 고유값인 것은 아니다
A의 대각 원소를 2와 7, x를 (1,2)로 두자. 분자는 2+28=30, 분모는 1+4=5이므로 몫은 6이다. 하지만 A의 고유값은 2와 7이다. 임의의 벡터에서 얻은 몫을 정확한 고유값으로 단정하면 안 된다.
최소와 최대의 의미
이 예제에서 일반적인 실수 벡터 (a,b)의 몫은 (2a²+7b²)/(a²+b²)다. 이는 2와 7의 가중평균이므로 그 사이에 있다. (1,0)에서 최솟값 2, (0,1)에서 최댓값 7을 얻는다. 실수 대칭행렬에서는 이 극값이 각각 가장 작은 고유값과 가장 큰 고유값이다.
잔차도 함께 살펴보기
x=(1,2)에 몫 6을 곱하면 (6,12)지만 Ax=(2,14)다. 차이는 (-4,2)로 0이 아니므로 이 벡터는 고유벡터가 아니다. 근사 고유값과 벡터를 검사할 때는 Ax-ρ(x)x의 크기까지 확인해야 한다.