로그 변환으로 정의한다
X가 위치 μ, 척도 s인 로지스틱 확률변수이고 Y=exp(X)라면 Y는 로그로지스틱 분포를 따른다. 척도는 α=exp(μ), 형상은 β=1/s로 나타낼 수 있다. Y에 자연로그를 취하면 다시 X가 된다. 단순히 로지스틱 확률값을 로그로 바꾸는 것과는 다른 확률변수 변환이다.
누적확률과 중앙값
이동이 없는 기본 형태에서 y>0의 누적분포는 F(y)=1/(1+(α/y)^β)다. y=α를 넣으면 1/2가 되므로 α는 중앙값이다. α=4, β=2이면 y=2에서 누적확률은 1/5이고 y=8에서는 4/5다. 따라서 2보다 크고 8 이하인 구간의 확률은 3/5다. 중앙값 주변의 두 위치가 차이가 아닌 배수로 대칭을 이루는 예다.
척도와 형상
Y의 모든 값을 두 배로 바꾸면 척도 α도 두 배가 되고 형상 β는 그대로다. 형상을 바꾸면 로그 축에서의 퍼짐이 달라진다. 로그를 취한 변수의 척도가 s=1/β이므로 β가 커질수록 로그 축의 분포는 좁아진다. 원래 축에서 분포가 어떤 모습인지와 로그 축에서 대칭인지 여부를 구분해야 한다.
로그정규분포와의 구분
로그정규분포는 로그값이 정규분포를 따른다는 조건을 사용한다. 두 분포 모두 양의 값을 다루고 비대칭으로 보일 수 있지만 같은 모형이 아니다. 꼬리와 큰 값의 영향을 따로 확인해야 하며, 양의 관측이라는 사실만으로 어느 쪽이 적합한지 정할 수는 없다. 자료에 이동을 더한 모형을 사용했다면 단순한 lnY 정의와도 구분해 조건을 밝혀야 한다.