서로 마주 보는 성분
전치 연산은 행과 열을 바꾸므로 반대칭 조건은 aᵢⱼ = −aⱼᵢ로 쓸 수 있다. 첫째 행 둘째 열의 성분이 3이라면 둘째 행 첫째 열의 성분은 −3이어야 한다. 대각 성분에서는 aᵢᵢ = −aᵢᵢ가 되어 실수와 복소수에서 0이 된다.
행렬의 예
첫째 행이 (0, 4), 둘째 행이 (−4, 0)인 행렬은 전치하면 모든 성분의 부호가 바뀐다. 따라서 반대칭행렬이다. 대각 성분이 0이라는 조건만으로는 충분하지 않으며 나머지 대응 성분들의 부호 관계도 확인해야 한다.
대칭 부분과 반대칭 부분
실수 또는 복소수 정사각행렬 A는 (A + Aᵀ)/2와 (A − Aᵀ)/2의 합으로 나타낼 수 있다. 앞의 행렬은 대칭이고 뒤의 행렬은 반대칭이다. 두 부분을 더하면 전치 항들이 상쇄되어 원래 A가 된다.
홀수 크기와 가역성
실수 또는 복소수의 홀수 크기 반대칭행렬은 행렬식이 0이다. 전치가 행렬식을 보존하는 한편 −A의 행렬식은 홀수 크기에서 부호가 바뀌기 때문이다. 복소수 행렬에서는 켤레전치를 사용하는 반에르미트 조건과 단순 전치를 사용하는 반대칭 조건을 구분해야 한다.