확률의 변동을 포함한다
한 집단의 성공 확률 P를 베타 분포에서 뽑고 그 집단 안에서 n번의 시행이 같은 P를 사용한다고 하자. P가 주어지면 성공 개수는 이항분포지만 P까지 평균내면 베타 이항분포가 된다. 집단 안의 모든 시행이 동일한 확률을 공유한다는 구성과, 매 시행마다 독립적으로 새 확률을 뽑는 구성을 혼동해서는 안 된다.
균등한 확률에서 나오는 개수
a=b=1이면 P는 0부터 1의 균등분포다. n=4의 경우 성공 횟수 0,1,2,3,4가 각각 확률 1/5을 갖는다. 반면 P를 평균값 1/2로 고정한 이항분포의 확률은 차례로 1,4,6,4,1을 16으로 나눈 값이다. 두 모형의 평균 성공 횟수는 모두 2지만 극단적인 개수의 가능성은 다르다.
평균과 분산 비교
p=a/(a+b)라고 하면 평균은 np, 분산은 np(1−p)(n+a+b)/(1+a+b)다. n=4,a=b=1에서는 분산이 1×6/3=2이고, 고정 p=1/2인 이항분포의 분산은 1이다. 평균 확률만 대입해서는 이 차이를 반영하지 못한다. n=1이면 추가 분산 배율이 1이 되어 한 번의 성공 여부만으로는 이 혼합 변동을 같은 방식으로 구분할 수 없다.
범주 확장과 해석
두 범주로 표현한 디리클레 다항분포와 연결되며, 한 범주의 개수가 정해지면 다른 개수는 n에서 뺀 값이다. 모수 a,b는 성공과 실패 관측 개수 그 자체로 항상 해석되는 것은 아니다. 자료의 집단 구분과 시행 수가 적절한지 확인하고, 관측 확률의 차이를 모형화했다는 사실을 그 차이의 실제 원인을 찾았다는 주장과 구분해야 한다.