상태와 입력에 비용을 준다
연속 시간의 교차항이 없는 기본 문제에서는 xᵀQx + uᵀRu를 시간에 대해 적분한 비용을 사용한다. Q는 상태가 원점에서 벗어난 정도를, R은 입력의 사용 정도를 가중한다. 같은 물리량도 단위를 바꾸면 수치 크기가 달라지므로 가중치의 의미를 함께 고려한다.
한 상태의 정확한 예
dx/dt = u인 적분기에서 비용을 0부터 무한대까지 qx² + ru²의 적분으로 정하고 q와 r을 양수로 두자. 이 문제의 피드백 이득은 √(q/r)이다. q = 4, r = 1이면 u = -2x이며 폐루프는 dx/dt = -2x가 된다.
입력을 더 비싸게 만든다
앞의 q를 4로 유지하고 r을 4로 바꾸면 이득은 1이 된다. 같은 초기 상태에서 입력 크기는 줄고 상태는 exp(-t)에 비례해 감소한다. 비용의 상대적인 가중치를 바꾸면 계산된 최적 동작도 달라지는 사례다.
최적화에 포함되지 않은 조건
기본 LQR 비용은 입력의 제곱을 벌점으로 삼지만 입력이 어떤 한계를 절대로 넘지 못하게 하는 제약과 같지는 않다. 실제 구동기의 포화와 모형 오차, 상태 측정 가능성은 따로 확인한다. 임의 목표값 추종도 원점 조절 문제와 구분해 설계한다.