가까워짐의 의미
수열 aₙ=1/n은 0에 수렴한다. 예를 들어 0과의 거리를 0.01보다 작게 만들려면 n>100인 항들을 보면 된다. 더 작은 허용 오차를 택해도 그 오차 안에 남는 충분히 뒤의 구간을 찾을 수 있다.
오차를 이용한 정의
모든 ε>0에 대해 어떤 자연수 N이 있어서 n≥N이면 |aₙ−L|<ε가 성립할 때 aₙ은 L에 수렴한다. N은 허용 오차 ε에 따라 달라질 수 있지만 한 번 정한 N 뒤의 모든 항이 조건을 만족해야 한다.
극한에 도달할 필요는 없음
1/n의 모든 항은 양수라서 어느 항도 0이 아니지만 극한은 0이다. 반면 처음부터 모든 항이 3인 상수수열은 3에 수렴한다. 극한값을 실제 항으로 가지는지 여부는 수렴의 필수 조건이 아니다.
유계성과의 관계
수렴하는 실수 수열은 항들이 어떤 유한한 범위에 들어가는 유계수열이다. 그러나 유계라고 반드시 수렴하는 것은 아니다. aₙ=(−1)ⁿ은 −1과 1 사이에 있지만 하나의 값으로 가까워지지 않는다.