단위행렬에서 재배열하기
단위행렬의 행 순서를 바꾸어도 각 열의 1은 하나씩 유지된다. 이렇게 얻은 행렬이 순열행렬이다. 각 행에 1이 하나씩 있다는 조건만으로는 충분하지 않으며 같은 열에 1이 겹치지 않는지도 확인해야 한다.
좌표를 바꾸는 예
첫째 행이 (0, 1), 둘째 행이 (1, 0)인 순열행렬 P는 열벡터 (x, y)를 (y, x)로 바꾼다. 이 예에서는 P를 두 번 적용하면 원래 좌표로 돌아온다. 그러나 세 좌표를 순환시키는 순열처럼 모든 순열이 두 번 적용해 원래가 되는 것은 아니다.
행과 열의 순서
크기가 맞을 때 PA는 A의 행들을 재배열하고 AP는 A의 열들을 재배열한다. 예의 2행 2열 P를 사용하면 왼쪽 곱은 첫째 행과 둘째 행을, 오른쪽 곱은 첫째 열과 둘째 열을 교환한다. 일반적인 순열에서는 1이 놓인 위치를 보고 실제 순서를 확인할 수 있다.
직교성과 역연산
순열행렬의 열들은 표준 기저 벡터의 순서를 바꾼 것이므로 정규직교한다. 따라서 PᵀP = I이고 역행렬은 전치행렬이다. 행렬식은 1 또는 −1이며 어떤 순열을 적용했는지에 따라 부호가 달라진다.