파동함수의 변화
질량 m인 입자 하나가 1차원 퍼텐셜 U(x,t)에 놓이면 Ĥ=−ℏ²/(2m)×∂²/∂x²+U(x,t)다. 초기 파동함수와 경계조건을 주어 시간 변화를 구한다. 고전역학의 궤적 x(t)를 직접 구하는 식과 달리 양자상태를 구한다.
확률과의 관계
위치 표현에서 |Ψ(x,t)|²는 위치의 확률밀도다. 일정 구간에서 입자를 찾을 확률은 그 구간에 대해 밀도를 적분해 얻는다. 파동함수 자체는 복소수일 수 있으며 진폭의 부호나 허수부를 그대로 확률로 읽으면 안 된다.
시간 독립형의 의미
해밀토니안이 시간에 무관하면 에너지가 정해진 정상상태를 Ψ(x,t)=ψ(x)exp(−iEt/ℏ)로 쓸 수 있다. 이때 공간 부분은 Ĥψ=Eψ를 만족한다. 그러나 여러 에너지 상태의 중첩도 가능하므로 모든 해가 하나의 이런 곱 형태라는 뜻은 아니다.
선형성과 적용 범위
같은 방정식을 만족하는 해들의 선형결합도 해다. 정규화와 경계조건을 함께 적용해 물리적인 상태를 고른다. 이 기본 입자 방정식을 상대론적 속도나 입자 생성과 소멸까지 그대로 다루는 보편적인 식으로 확장해서는 안 된다.