개수의 차이를 다룬다
X가 평균 μ_1, Y가 평균 μ_2인 독립 푸아송 변수일 때 D=X−Y를 생각하자. D=2는 X=2,Y=0뿐 아니라 X=3,Y=1 등 여러 조합으로 생길 수 있다. 같은 차이를 만드는 조합들의 확률을 모두 더해야 한다. 차이의 평균 하나만으로 두 원래 개수의 변동까지 정할 수는 없다.
평균은 빼고 분산은 더한다
기댓값의 선형성으로 E[D]=μ_1−μ_2다. 독립 조건에서는 Var(D)=Var(X)+Var(Y)=μ_1+μ_2다. 예를 들어 μ_1=5, μ_2=3이면 차이의 평균은 2지만 분산은 8이다. 평균 2인 푸아송 분포의 분산 2와 다르고 음수 값도 가능하므로 평균이 양수라는 이유만으로 차이를 푸아송 변수라고 볼 수 없다.
부호와 대칭
μ_1과 μ_2를 맞바꾸면 차이의 부호를 뒤집은 분포가 된다. 두 평균이 같으면 양수와 음수의 확률이 대칭이다. 그러나 평균이 0이라고 차이가 항상 0인 것은 아니다. 두 평균이 모두 4라면 E[D]=0이지만 Var(D)=8이어서 0 주위로 여러 정수 값이 나올 수 있다. 방향을 정할 때 어느 개수에서 어느 개수를 뺐는지도 기록해야 한다.
독립 조건의 확인
두 개수가 함께 증가하는 공통 요인이나 직접적인 의존성이 있으면 독립 차이 모형과 구분해야 한다. 일반적으로 차이의 분산에는 −2Cov(X,Y) 항이 들어가므로 공분산을 무시하면 변동을 잘못 계산할 수 있다. 관측값이 개수라는 사실만으로 각 변수가 푸아송 분포를 따른다고 보장되지도 않는다. 두 주변 분포와 의존 구조를 확인한 뒤 차이 모형을 해석한다.