다른 확률의 성공을 합한다
각 X_i가 성공하면 1, 실패하면 0이고 성공 확률은 p_i라고 하자. 서로 독립일 때 K=ΣX_i의 분포가 푸아송 이항분포다. 성공 확률들이 다르다는 점에서 기본 이항분포보다 일반적이다. 확률값이 다르면 안 된다는 제약을 풀었지만 독립 조건까지 없앤 것은 아니다. 의존하는 성공 여부의 합을 같은 모수만으로 표현할 수는 없다.
두 시행의 확률 계산
성공 확률이 0.2와 0.7인 독립 시행 두 개에서 성공 0번의 확률은 0.8×0.3=0.24다. 성공 두 번은 0.2×0.7=0.14이고, 정확히 한 번은 0.2×0.3+0.8×0.7=0.62다. 세 확률의 합은 1이다. 어떤 시행이 성공했는지를 구분한 결과들을 더해 같은 성공 개수의 확률을 구한다.
평균 확률로 바꾸면 달라진다
위의 평균 성공 횟수는 0.2+0.7=0.9다. 두 확률을 평균 0.45로 바꾼 이항분포도 평균 횟수는 0.9지만, 성공 두 번의 확률은 0.45²=0.2025로 다르다. 원래 합의 분산은 0.2×0.8+0.7×0.3=0.37이고 평균 확률 이항분산은 2×0.45×0.55=0.495다. 평균만 같게 맞춰서는 분포 전체가 보존되지 않는다.
생성다항식과 계산
각 시행의 다항식 (1−p_i)+p_i z를 모두 곱하면 z^k의 계수가 성공 k번의 확률이 된다. 이 관계로 순차 합성이나 빠른 계수 계산을 구성할 수 있다. 실제 계산에서는 확률 합과 작은 꼬리 확률의 수치 정밀도를 확인해야 한다. 이름에 푸아송이 들어가더라도 가능한 성공 횟수는 유한한 시행 수를 넘지 않으며, 푸아송 근사를 쓴다면 별도의 근사 조건을 검토한다.