존재와 켤레 관계
군의 위수에서 p가 몇 번 곱해지는지 세어 최대 거듭제곱 pᵃ를 정하면 그 위수의 부분군이 존재한다. 같은 소수 p에 대한 실로 부분군들은 서로 켤레다. 즉 두 부분군 P,Q에 대해 Q=gPg⁻¹가 되는 g∈G가 있다.
개수의 두 제약
실로 p-부분군의 개수 nₚ는 p로 나눈 나머지가 1이며 m을 나눈다. 이 조건들은 가능한 개수를 줄이지만 항상 하나로 결정하지는 않는다. 켤레 작용에서 P의 안정자가 정규화군 N_G(P)이므로 nₚ=[G:N_G(P)]로도 나타낼 수 있다.
위수가 15인 군
|G|=15라면 실로 5-부분군의 개수는 3의 약수이면서 5로 나눈 나머지가 1이어야 한다. 후보 1,3 중 가능한 것은 1뿐이다. 실로 3-부분군의 개수도 5의 약수 1,5 중 3으로 나눈 나머지가 1인 1만 가능하다.
정규성과 연결
실로 p-부분군이 유일하면 켤레로 옮겨도 같은 부분군이므로 정규부분군이다. 반대로 실로 p-부분군이 정규이면 모든 실로 p-부분군이 켤레라는 사실 때문에 유일하다. 실로 부분군의 위수가 pᵃ라고 해서 위수 pᵃ인 원소까지 항상 있는 것은 아니다.
관련 문서
부분군 / 위수 (군론) / 정규화군 / 정규부분군 / 코시 정리 (군론) / 군 작용 / 라그랑주 정리 (군론)